Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/129

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .(a+x)+\operatorname {Cos} .(a+2x)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\operatorname {Cos} .(a+{\overline {n-1}}.x)=0,\\&\operatorname {Cos} .^{2}a+\operatorname {Cos} .^{2}(a+x)+\operatorname {Cos} .^{2}(a+2x)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\operatorname {Cos} .^{2}(a+{\overline {n-1}}.x)={\frac {2}{1}}.{\frac {n}{2^{2}}},\\&\operatorname {Cos} .^{3}a+\operatorname {Cos} .^{3}(a+x)+\operatorname {Cos} .^{3}(a+2x)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\operatorname {Cos} .^{3}(a+{\overline {n-1}}.x)=0,\\&\operatorname {Cos} .^{4}a+\operatorname {Cos} .^{4}(a+x)+\operatorname {Cos} .^{4}(a+2x)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\operatorname {Cos} .^{4}(a+{\overline {n-1}}.x)={\frac {4}{1}}.{\frac {3}{2}}.{\frac {n}{2^{4}}},\\&\operatorname {Cos} .^{5}a+\operatorname {Cos} .^{5}(a+x)+\operatorname {Cos} .^{5}(a+2x)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\operatorname {Cos} .^{5}(a+{\overline {n-1}}.x)=0,\\&\operatorname {Cos} .^{6}a+\operatorname {Cos} .^{6}(a+x)+\operatorname {Cos} .^{6}(a+2x)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\operatorname {Cos} .^{6}(a+{\overline {n-1}}.x)={\frac {6}{1}}.{\frac {5}{2}}.{\frac {4}{3}}.{\frac {n}{2^{6}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$(F)

Soit présentement une circonférence, dont $\mathrm {C}$ soit le centre et $r$ le rayon, divisée en $n$ parties égales aux points $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3},\ldots P_{n}} \,;$ et soit $\mathrm {O}$ un point du plan de cette circonférence distant de son centre de la quantité $k.$ Soient menées les droites $\mathrm {OP_{1},OP_{2},OP_{3},\ldots OP_{n}} ,$ et les rayons $\mathrm {CP_{1},CP_{2},CP_{3}} ,\ldots$$\mathrm {CP_{n}} \,;$ soit $x$ l’angle de deux rayons consécutifs, et soit $a$ l’angle que fait le premier $\mathrm {CP,}$ avec la droite $\mathrm {CO.}$ Les triangles $\mathrm {OCP_{1},OCP_{2},OCP_{3}} ,\ldots$$\mathrm {OCP_{n}}$ qui ont tous le côté commun $\mathrm {CO,}$ donneront

${\begin{aligned}{\overline {\mathrm {OP_{1}} }}^{2}&=k^{2}+r^{2}-2kr\operatorname {Cos} .a,\\{\overline {\mathrm {OP_{2}} }}^{2}&=k^{2}+r^{2}-2kr\operatorname {Cos} .(a+x),\\{\overline {\mathrm {OP_{3}} }}^{2}&=k^{2}+r^{2}-2kr\operatorname {Cos} .(a+2x),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\{\overline {\mathrm {OP_{n}} }}^{2}&=k^{2}+r^{2}-2kr\operatorname {Cos} .(a+{\overline {n-1}}.x).\\\end{aligned}}$