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$(a-a')+p'(c-c')=0,\quad (P'),\quad (b-b')+q'(c-c')=0.\qquad$(Q’)

Cela posé ; soient prises arbitrairement des valeurs de $a'$ et $b',$ on en conclura celles de $c',p',q',$ au moyen de l’équation $S'=0.$ Ces valeurs étant substituées dans les équations (P’), (Q’), combinées avec l’équation $S=0,$ on en tirera les valeurs correspondantes de $a,b,c,p,q\,;$ en substituant les unes et les autres dans les équations (1) et (2), les équations résultantes, en $x,y,z,$ seront indistinctement satisfaites par tous les points de la direction du rayon réfracté répondant aux valeurs particulières attribuées à $a',b'.$

Puis donc que ces équations laissent $x,y,z$ indéterminées et, n’établissent entre elles que deux relations seulement, il doit nous être permis d’établir, entre ces trois coordonnées, une relation tout-à-fait arbitraire ; au quel cas elles deviendront alors les coordonnées d’un point déterminé du rayon réfracté. Cherchons seulement à choisir cette relation de manière à rendre les calculs nécessaires pour la recherche du point $(x,y,z)$ de la direction du réfracté aussi simple et symétrique qu’il se pourra.

Or, si nous posons

$(x-a)+p(z+c)=-{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(a-a')+p(c-c')\right\},\qquad$(P)

l’équation (1) deviendra

$(y-b)+q(x-c)=-{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}\,;\qquad$(Q)

on tirera de l’élimination de $z-c$ entre elles

$p(y-b)-q(x-a)=-{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{p(b-b')-q(a-a')\right\}.$