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S’il y a maximum ou minimum, il faut que $\delta \int V\operatorname {d} x=0.$ Les valeurs de $\delta x,\delta y,\ldots$ qui satisfont à cette condition, devront rendre, en outre, $\delta ^{2}\int V\operatorname {d} x$ négatif dans le cas du maximum, et positif dans le cas du minimum.

Il est encore à remarquer que, si le maximum ou le minimum doit avoir lieu entre certaines limites, non seulement $\int V\operatorname {d} x$ mais aussi

$\delta \int V\operatorname {d} x,\qquad \delta ^{2}\int V\operatorname {d} x,\qquad \delta ^{3}\int V\operatorname {d} x,\ldots$

devront être pris entre ces limites. Or nous avons trouvé ci-dessus

$\delta \int v\operatorname {d} x=V\delta x+\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)\omega +\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right){\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}+\ldots$

$+\int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)\omega \operatorname {d} x\,;$

et si nous nous rappelons que

$\omega =\delta y-p\delta x,\quad {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}=\delta p-q\delta x,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}=\delta q-r\delta x,\ldots \,;$

il viendra, en substituant,

$0=\delta \int V\operatorname {d} x=$

$\left\{V-P\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)-q\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)-r(R-\ldots )-\ldots \right\}\delta x$

$+\left(P-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} x^{2}}}-\ldots \right)\delta y+\left(Q-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \right)\delta p+(R-\ldots )+\ldots$

$+\int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \right)\omega \operatorname {d} x,$

qu’il faudra prendre entre les limites données.

Il se présente ici plusieurs cas à examiner.