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de la nouvelle origine $(\alpha ,\beta ).$ Les formules générales de cette transformation étant, comme l’on sait

$x=\alpha +t\operatorname {Cos} .m-u\operatorname {Sin} .m,\qquad y=\beta +t\operatorname {Sin} .m+u\operatorname {Cos} .m$

on trouvera, en substituant dans (1) et ayant égard à la relation (2)

$r^{2}=t(C\operatorname {Cos} .m+C'\operatorname {Sin} .m)+u(C'\operatorname {Cos} .m-C\operatorname {Sin} .m).$

L’angle $m$ étant arbitraire, on pourra en disposer de manière que

$C\operatorname {Cos} .m+C'\operatorname {Sin} .m=0,$

il en résultera

$\operatorname {Cos} .m={\frac {C'}{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}},\qquad \operatorname {Sin} .m=-{\frac {C}{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}}\,;$

on aura conséquemment

$r^{2}=u(C'\operatorname {Cos} .m-C\operatorname {Sin} .m)=u{\frac {C^{2}+C'^{2}}{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}}=u{\sqrt {C^{2}+C'^{2}}}\,;$

ou, en transformant les constantes

$r^{2}=au\,;$

Soient faits

${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=p_{1},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} p_{1}}{\operatorname {d} t}}=q_{1},\quad$d’où $r={\frac {\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{q_{1}}}\,;$

il en résultera

${\frac {\frac {\operatorname {d} p_{1}}{\operatorname {d} t}}{\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}={\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}.{\frac {1}{\sqrt {u}}},\quad$et$\quad {\frac {2p_{1}\operatorname {d} p_{1}}{\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}.{\frac {p_{1}\operatorname {d} t}{\sqrt {u}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}.{\frac {\operatorname {d} u}{\sqrt {u}}}$

d’où, en intégrant,