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tre tirage^[1]. Si les deux tirages amènent des points égaux, et supérieurs à $31,$ comme $32$ et $32,33$ et $33,\ldots 40$ et $40,$ le coup est nul : le banquier ne paye ni ne reçoit rien pour ces sortes de coups ; de sorte que s’il en était de même pour le coup $31$ et $31,$ le banquier n’aurait évidemment aucun avantage, et le jeu serait parfaitement égal entre les joueurs et lui. Mais, lorsqu’il arrive ce qu’on appelle un refait de 31, ou autrement dit, si les deux tirages d’un même coup amènent ce nombre, le coup n’est pas réputé nul, et le banquier prend la moitié des mises de tous les joueurs. L’avantage du banquier, au jeu de trente et quarante, est donc égal, pour chaque coup, à la demi-somme de toutes les mises, multipliée par la probabilité du refait de 31, relative à ce coup. Ainsi, l’objet principal de ce mémoire consiste à déterminer cette probabilité. Mais nous allons, auparavant, résoudre plusieurs problèmes de hasard qui n’avaient point encore été traités jusqu’ici, et dont cette détermination ne sera plus qu’une application particulière.

2. Une urne renferme $x_{1}$ portant le numéro $1,\ x_{2}$ boules portant le numéro $2,\ x_{3}$ boules portant le numéro $3,\ldots ,$ enfin $x_{i}$ boules portant le numéro $i,$ le plus haut de tous ceux dont les boules sont marquées ; on tire successivement une, deux, trois, … boules, sans les remettre dans l’urne, après qu’elles

1. Communément, pour plus de commodité, les joueurs, qu’on appelle aussi les pontes, placent leurs mises sur le bord de deux cartons circulaires, l’un noir, répondant au premier tirage de chaque coup, et l’autre rouge, répondant au second ; et de là vient que, dans quelques localités, le trente et quarante est aussi appelé la rouge et noire, et qu’on dit parier pour la couleur noire ou pour la rouge, suivant qu’on parie pour le premier ou pour le second tirage.
   J. D. G.