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Donc, si nous désignons par $Y,$ la somme de toutes les valeurs de $Y_{1}$ qui répondent à ces valeurs de $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{i},$ et par $X$ la probabilité demandée, nous aurons

$X=(s+1)\int (1-y)^{s}Y_{1}ddy.$

Maintenant, prenons une indéterminée $t,$ et supposons qu’on fasse le produit des séries suivantes :

$1+{\frac {x_{1}}{1}}.{\frac {yt}{1-y}}+{\frac {x_{1}}{1}}.{\frac {x_{1}-1}{2}}.{\frac {y^{2}t^{2}}{(1-y)^{2}}}+{\frac {x_{1}}{1}}.{\frac {x_{1}-1}{2}}.{\frac {x_{1}-2}{3}}.{\frac {y^{3}t^{3}}{(1-y)^{3}}}+\ldots ,$

$1+{\frac {x_{2}}{1}}.{\frac {yt^{2}}{1-y}}+{\frac {x_{2}}{1}}.{\frac {x_{2}-1}{2}}.{\frac {y^{2}t^{4}}{(1-y)^{2}}}+{\frac {x_{2}}{1}}.{\frac {x_{2}-1}{2}}.{\frac {x_{2}-2}{3}}.{\frac {y^{3}t^{6}}{(1-y)^{3}}}+\ldots ,$

 

$1+{\frac {x_{i}}{1}}.{\frac {yt^{i}}{1-y}}+{\frac {x_{i}}{1}}.{\frac {x_{i}-1}{2}}.{\frac {y^{2}t^{2i}}{(1-y)^{2}}}+{\frac {x_{i}}{1}}.{\frac {x_{i}-1}{2}}.{\frac {x_{i}-2}{3}}.{\frac {y^{3}t^{3i}}{(1-y)^{3}}}+\ldots \,;$

si l’on ordonne ce produit par rapport aux puissances de $t,$ il est évident, d’après la forme de $Y,$ que la somme $Y_{1}$ des valeurs de cette quantité ne sera autre chose que le coefficient de $t^{x}$ dans la série qu’on obtiendra ; d’ailleurs, les $i$ facteurs du produit sont les développemens des puissances

$\left(1+{\frac {yt}{1-y}}\right)^{x_{1}},\quad \left(1+{\frac {yt^{2}}{1-y}}\right)^{x_{2}},\ldots \left(1+{\frac {yt^{i}}{1-y}}\right)^{x_{i}}\,;$

donc, à cause de $x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots x_{i}=s,\ Y_{1}$ sera le coefficient de $t^{x},$ dans le développement du produit

$(1-y)^{s}(1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}},$