![{\displaystyle {\begin{aligned}&p_{3}=k_{3}-{\frac {1}{13}}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&p_{10}=k_{10}-{\frac {1}{13}}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+\ldots +k_{10}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2240bb8d65e8b9f092be88fe1d981e468ea384e2)
au moyen desquelles tout le calcul est réduit à déterminer les valeurs numériques des
quantités
dont la première est déjà connue.
11. Pour les obtenir, développons, comme dans le n.o 9 la fonction
suivant les puissances de
et continuons le développement, jusqu’à la puissance
inclusivement ; nous aurons
![{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {T}{s}}}}={\frac {1-t}{1-(1+a)t}}+{\frac {a(1-t)(3-4t)t^{10}}{\left[1-(1+a)t\right]^{2}}}+{\frac {a^{2}(1-t)(3-4t)^{2}t^{20}}{\left[1-(1+a)t\right]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eee7ba331e42192cfcd764e74d54452c212b84f)
![{\displaystyle +{\frac {a^{3}(1-t)(3-4t)^{3}t^{30}}{\left[1-(1+a)t\right]^{4}}}+{\frac {a^{4}(1-t)(3-4t)^{4}t^{40}}{\left[1-(1+a)t\right]^{5}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a1c4d76fb96d218ef8c3ea4b61ea184ae53b63)
en faisant comme plus haut,
Développons ensuite chaque terme, suivant les puissances de
et prenons la somme des coefficiens de
il vient
![{\displaystyle k_{n}=a(1+a)^{30+n-1}+{\frac {a}{1}}{\frac {\operatorname {d} \left[(1+a)^{20+n-1}(3a-1)a\right]}{\operatorname {d} a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cec69d6aed1b6afcee37661318ee058d34bb95)