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$\mathrm {S=0,\qquad S} '=0,$

$(a-a')+p'(c-c')=0,\qquad (b-b')+q'(c-c')=0,$

$m^{2}\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}+n^{2}\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}=0,$

$m^{2}\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}+n^{2}\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}=0,$

$m^{2}\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}=n^{2}\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}.$

2.^o Si l’on demandait à quelle surface des rayons incidens doivent être normaux pour qu’après s’être réfractés ou réfléchis à la rencontre d’une surface donnée, ils devinssent normaux à une autre surface donnée ; on éliminerait d’abord $x,y,z$ entre les trois dernières équations et l’équation donnée de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés ou réfléchis ; éliminant ensuite $a,b,c$ entre l’équation résultante, l’équation $\mathrm {S=0}$ et les deux équations

$(a-a')+p'(c-c')=0,\qquad (b-b')+q'(c-c')=0,$

l’équation qu’on obtiendrait en $a',b',c',p',q'$ serait l’équation différentielle de la trajectoire orthogonale des rayons incidens.

3.^o Si enfin on demandait à la rencontre de quelle surface des rayons de lumière normaux à une surface donnée doivent se réfracter ou se réfléchir, pour devenir, après leur réfraction ou leur réflexion, normaux à une autre surface donnée ; on éliminerait d’abord, comme ci-dessus, $x,y,z$ entre l’équation donnée de la trajectoire orthogonale des rayons réfractés ou réfléchis. Éliminant ensuite $a',b',c'$ entre l’équation résultante, l’équation $\mathrm {S'=0}$ et les deux équations

$(a-a')+p'(c-c')=0,\qquad (b-b')+q'(c-c')=0,$