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GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Mémoire sur les lignes du second ordre ;

Par M. Ch. Sturm.

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(Première Partie.)

§. I.

Soient, sur un plan, deux lignes quelconques du second ordre (c), (c′), rapportées à deux axes de coordonnées rectangulaires ou obliques quelconques, et représentées respectivement par les deux équations

$Ax^{2}\ +By^{2}\ +2Cxy\ +2Dx\ +2Ey\ +F\ =0,\ \qquad$(c)

$A'x^{2}+B'y^{2}+2C'xy+2D'x+2E'y+F'=0.\qquad$(c′)

Les coordonnées des points d’intersection que peuvent avoir les deux courbes proposées doivent satisfaire, à la fois, à leurs deux équations (c), (c′) ; de sorte qu’elles sont déterminées par l’ensemble de ces deux équations. Considérant donc $x$ et $y$ comme les deux coordonnées inconnues de l’un quelconque de ces points d’intersection, on aura d’abord, par l’élimination de $y^{2},$ entre les deux équations (c), (c′) la suivante $(\gamma ),$ qui n’est que du premier degré en $y$

$(AB'-BA')x^{2}+2(DB'-BD')x+(FB'-BF')$

$+2\left\{(CB'-BC')x+(EB'-BE')\right\}y=0.(\gamma )$

Substituant la valeur de $y$ qui en résulte dans l’une des équations (c), (c′), on parviendra à une équation en $x$ du quatrième de-