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$(mA+A')x^{2}+(mB+B')y^{2}+2(mC+C')xy+2(mD+D')x$

$+2(mE+E')y+(F+F')=0.$

Cette équation est d’abord évidemment satisfaite par les quatre systèmes de valeurs, soit réelles soit imaginaires, que donnent les équations (c), (c′), pour les coordonnées $x,y$ de leurs points communs^[1]. En outre, on peut toujours, dans la même équation, disposer du facteur indéterminé $m$, de manière que la courbe qu’elle exprime remplisse une autre condition quelconque, celle, par exemple, de passer par un point donné ; ce qui fera que cette courbe remplira, en tout, cinq conditions distinctes. Or une ligne du second ordre assujettie à remplir les cinq conditions dont il s’agit est complètement déterminée, puisque ces cinq conditions suffisent pour déterminer les rapports de l’un quelconque des coefficiens que renferme son équation générale aux cinq autres ; donc l’équation à laquelle nous venons de parvenir ci-dessus peut effectivement représenter toute ligne du second ordre qui passe par les intersections des deux proposées (c), (c′) ou qui a avec elles les mêmes points d’intersection ; ces points ou plutôt leurs coordonnées, déduites des équations (c), (c′), pouvant être d’ailleurs indifféremment réels ou imaginaires.

tions par deux multiplicateurs $\lambda$ et $\lambda '.$ Il est manifeste, en effet, qu’en posant ensuite $\lambda =m\lambda ',$ on retomberait sur le résultat qui vient d’être indiqué.

(Note de l’Auteur.)
1. Il faut observer ici que, si une équation du second degré, en $x$ et $y$, est satisfaite par ces valeurs imaginaires $x=f+g{\sqrt {-1}},\ x=h+k{\sqrt {-1}},$ elle le sera nécessairement aussi par leurs conjuguées $x=f-g{\sqrt {-1}},\ x=h-k{\sqrt {-1}}.$
   (Note de l’Auteur.)