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Soient, comme ci-dessus, les quatre points harmoniques $\mathrm {A,B,C,D} \,;$ les deux premiers conjugués l’un à l’autre, ainsi que les deux derniers, en sorte qu’on ait, comme alors $\mathrm {{\frac {AC}{BC}}={\frac {AD}{BD}}}$. D’un point quelconque $\mathrm {S} ,$ hors de leur direction, soient menées à ces quatre points les droites $\mathrm {SA,SB,SC,SD,}$ qui formeront un faisceau harmonique, dans lequel les deux premières droites, ainsi que les deux dernières, seront conjuguées l’une à l’autre. En vertu de la proportionnalité des sinus des angles des triangles aux côtés qui leur sont opposés, on aura

$\mathrm {{\frac {AC}{AS}}={\frac {\operatorname {Sin} .ASC}{\operatorname {Sin} .ACS}},\qquad {\frac {BC}{BS}}={\frac {\operatorname {Sin} .BSC}{\operatorname {Sin} .BCS}}} \,;$

d’où, à cause de $\operatorname {Sin} .\mathrm {ACS} =\operatorname {Sin} .\mathrm {BCS} ,$

$\mathrm {{\frac {AC}{BC}}={\frac {AS}{BS}}.{\frac {\operatorname {Sin} .ASC}{\operatorname {Sin} .BSC}}} \,;$

et, en suite,

$\mathrm {{\frac {AD}{AS}}={\frac {\operatorname {Sin} .ASD}{\operatorname {Sin} .ADS}},\qquad {\frac {BD}{BS}}={\frac {\operatorname {Sin} .BSD}{\operatorname {Sin} .BDS}}} \,;$

d’où, à cause de $\operatorname {Sin} .\mathrm {ADS} =\operatorname {Sin} .\mathrm {BDS} ,$