![{\displaystyle 1+\operatorname {Cos} .{\frac {2b\varpi }{g}}+\operatorname {Cos} .{\frac {4b\varpi }{g}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(g-1)\varpi }{g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c44009e4efa252db05fcda149b91533ae86e43)
dont la somme
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .2\left(b-{\frac {1}{2}}{\frac {b}{g}}\right)\varpi +\operatorname {Sin} .{\frac {b\varpi }{g}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {b\varpi }{g}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7716730531f1763b22b746cee4888183ea46e38a)
a pour valeur
lorsque
est un nombre entier, et se réduit à zéro, dans le cas contraire.
De là résulte 1.o que l’équation
a toujours une solution entière, et plus petite que
lorsque
et
n’ont d’autres diviseurs communs que l’unité ;
2.o Que si
et
ont un commun diviseur
différent de l’unité, qui ne divise point
cette équation n’admet aucune solution entière ;
3.o Qu’enfin, si
est un nombre entier, on trouvera pour
un nombre
de valeurs entières, plus petites que
qui satisferont à l’équation proposée.
Puisque l’intégrale (3) représente le nombre des solutions entières de l’équation
en prenant pour
des valeurs moindres que
il est clair que la formule
(4)
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8c4c52f64bb4a814cec7a07e440f5ad28a9140)
![{\displaystyle \left.+\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(c-1)(ax+b)\varpi }{c}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e447775b7f0699743bdf20ea7aea7546660e79)
![{\displaystyle ={\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{1+\operatorname {Cos} .2\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots +\operatorname {Cos} .2u\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239ab821e64e1126cfd18ec530beaa0f3690e1e8)
![{\displaystyle \left.+\operatorname {Cos} .2(c-1)\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13f6014b24a963bca9a505309636232c464ddf8)
exprimera la somme des valeurs de
entières et moindres que