Donc, si de cette équation (4) on retranche le produit par de l’équation tous les termes de l’ordre disparaîtront de l’équation résultante, qui sera ainsi une équation d’un ordre inférieur à mais ce sera aussi l’équation d’une surface qui contiendra la ligne de contact de la surface conique avec la surface de l’ordre à laquelle elle est circonscrite ; donc il est vrai de dire, comme l’annonce le théorème, que cette ligne de contact appartient à une surface d’un ordre inférieur à celui de la surface à laquelle la surface conique se trouve circonscrite. Donc, en particulier, cette ligne de contact est une courbe plane, si la surface conique est circonscrite à une surface du second ordre.
Cette proposition, étant indépendante de la distance du sommet de la surface conique à la surface à laquelle elle se trouve circonscrite, elle aura lieu également lorsque ce sommet en sera infiniment distant. Notre théorème conduit donc à ce corollaire.
Corollaire. La ligne de contact d’une surface d’un ordre quelconque avec une surface cylindrique qui lui est circonscrite appartient toujours à une surface d’un ordre inférieur.
Par des raisonnemens et des calculs analogues, on démontrera le théorème suivant :
THÉORÈME. Les points de contact d’une courbe plane d’un ordre quelconque avec toutes les tangentes qui peuvent lui être menées d’un même point quelconque de son plan, sont tous situés sur une courbe d’un ordre inférieur au sien.
Démonstration. Soit pris le point d’où sont issues toutes les tangentes pour origine des coordonnées, auxquelles nous supposerons d’ailleurs une direction quelconque, et soit alors
l’équation de la courbe dont il s’agit, que nous supposons de l’ordre Toute droite menée par l’origine aura une équation de la forme
