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Démonstration du théorème de Statique énoncé à la
page 272 du présent volume ;

Par M. Lenthéric, docteur ès sciences, professeur
au collége royal de Montpellier,

Par M. Sarrus, docteur ès sciences, professeur au collége
de Pézenas,

Par M. A. E. Morel, capitaine au corps royal d’artillerie,

Par Et M. Querret, professeur de mathématiques transcendantes à la faculté des sciences de Montpellier.

THÉORÈME. Si des forces, au nombre de n, agissant sur un même point $\mathrm {O}$ de l’espace, sont représentées, en intensité et en direction, par des droites $\mathrm {OP_{1},OP_{2},OP_{3},\ldots OP} _{n},$ issues de ce point, le centre $\mathrm {M}$ des moyennes distances des points $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3},\ldots P} _{n},$ sera un des points de la résultante de ces forces ; et, si cette résultante est représentée en intensité et en direction par $\mathrm {OR,}$ on aura $\mathrm {OR} =n\times \mathrm {OM} .$

Démonstration. Trois des démonstrations que nous avons reçues se ressemblent pour le fond. Dans toutes on a rapporté le système à trois axes rectangulaires passant par le point $\mathrm {O} \,;$ seulement M. Sarrus a fait passer l’axe des $z$ par le point $\mathrm {M} \,;$ et, comme il en résulte quelques simplifications, nous adopterons un pareil choix d’axes de coordonnées.

Soient alors $\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),\ldots \left(x_{n},y_{n},z_{n}\right),$ les points que nous avons désignés par $\mathrm {P_{1},P_{2},\ldots P_{n}} ,\,;$ on aura d’après la situation de l’axe des $z$

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots x_{n}&=0,\\y_{1}\,+y_{2}\,+y_{3}+\ldots y_{n}&=0,\\z_{1}\,+z_{2}\,+z_{3}+\ldots z_{n}&=n.\mathrm {OM} .\end{aligned}}$