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d’une petitesse suffisante ; et alors cette limite fixe sera dite la valeur de la fonction qui répond $p=q.$

Or, nous allons voir qu’à l’égard des fonctions interpolaires, ce troisième cas est, généralement parlant, le seul qui puisse avoir lieu, ou, en d’autres termes, qu’en général ces sortes de fonctions ne sauraient jamais devenir nulles, par l’effet de l’égalité de tous ou partie des élémens dont elles se composent.

Pour le prouver, imaginons qu’on partage l’intervalle $b-a$ en un nombre arbitraire $m$ de parties égales ; posons, pour abréger, $b-a=k,$ et soient

$a_{1}=a+{\frac {k}{m}},\ a_{2}=a_{1}+{\frac {k}{m}},\ a_{3}=a_{2}+{\frac {k}{m}},\ldots b=a_{m-1}+{\frac {k}{m}}\,;$

nous aurons (1)

${\begin{aligned}\operatorname {f} _{n-1}(a_{1},c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n-1}(a,c,d,\ldots )&={\frac {k}{m}}\operatorname {f} _{n}(a_{1},a,c,d,\ldots ),\\\\\operatorname {f} _{n-1}(a_{2},c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n-1}(a_{1},c,d,\ldots )&={\frac {k}{m}}\operatorname {f} _{n}(a_{1},a_{2},c,d,\ldots ),\\\\\operatorname {f} _{n-1}(a_{3},c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n-1}(a_{2},c,d,\ldots )&={\frac {k}{m}}\operatorname {f} _{n}(a_{2},a_{3},c,d,\ldots ),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {f} _{n-1}(b,c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n-1}(a_{m-1},c,d,\ldots )&={\frac {k}{m}}\operatorname {f} _{n}(a_{m-1},b,c,d,\ldots )\,;\end{aligned}}$

en ajoutant, réduisant et se rappelant que (1)

$\operatorname {f} _{n-1}(b,c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n-1}(a,c,d,\ldots )=k\operatorname {f} _{n}(a,b,c,d,\ldots ),$

il viendra, en divisant par $k,$