Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/347

Cette valeur de $\operatorname {f} x$ contient une fonction interpolaire de $x$, à son dernier terme ; mais, si les élémens $a,b,c,\ldots p,q,$ ont des valeurs comprises entre des limites peu étendues, et que $x$ soit lui-même compris entre eux, la série sera assez convergente pour qu’on puisse se permettre d’en négliger le dernier terme, et on aura alors sensiblement

$\operatorname {f} x=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {f} a\\+&a(x-a)\operatorname {f} _{1}(a,b)\\+&a(x-a)(x-b)\operatorname {f} _{2}(a,b,c)\\+&a(x-a)(x-b)(x-b)\operatorname {f} _{3}(a,b,c,d)\\+&a(x-a)(x-b)(x-c)\operatorname {f} _{3}(a,b,c,d)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&a(x-a)(x-b)(x-c)\ldots (x-p)\operatorname {f} _{n-1}(a,b,c,\ldots p,q)\end{aligned}}\right\}.$(4)

On reconnaît ici la formule ordinaire d’interpolation ; ce qui justifie la dénomination d’interpolaires que nous avons donnée aux fonctions dont elle se compose.

7. Posons $y=\operatorname {f} x,$ et désignons

par $\Delta y\$ la quantité dont $\ \ y\quad$augmente, lorsque $x$ devient $x+\Delta x$ ;

par $\Delta ^{2}y$ la quantité dont $\Delta y\ \,$ augmente, lorsque $x$ devient $x+\Delta x$ ;

par $\Delta ^{3}y$ la quantité dont $\Delta ^{2}y$ augmente, lorsque $x$ devient $x+\Delta x$ ;



par $\Delta ^{n}y$ la quantité dont $\Delta ^{n-1}y$ augmente, lorsque $x$ devient $x+\Delta x$ ;

nous aurons, par la définition des fonctions interpolaire,