![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {4\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {6\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {6\varpi }{m}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {Cos} .{\frac {2m\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2m\varpi }{m}},\end{aligned}}\right\}\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec1044b5e9e395ff382a8355c77745460eec2b0)
donc, en vertu au même théorème, les n.me puissances de ces racines seront respectivement
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .{\frac {2n\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2n\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {4n\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {4n\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {6n\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {6n\varpi }{m}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {Cos} .{\frac {2mn\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2mn\varpi }{m}}.\end{aligned}}\right\}\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f268ba4630d459f0b2f6f79cc6010896ba93e34e)
Mais, d’un autre côté, le théorème de Newton sur les sommes de puissances semblables des racines d’une équation quelconque, prouve que la somme des n.me puissances des racines de l’équation
est égale à
ou nulle, suivant que
est ou n’est pas multiple de
donc, en supposant
la somme des fonctions (2) doit être nulle, et conséquemment la partie réelle et la