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la remarque qui vient d’être faite, relativement à la figure des surfaces angulaires indéfinies ; voici, à peu près, ce qu’on pourrait dire de plus plausible : par un point pris arbitrairement dans l’intérieur du triangle, décrivons un cercle d’un rayon infiniment grand, par rapport aux dimensions de ce triangle. On pourra alors réputer indistinctement comme centre de ce cercle chacun des sommets du triangle ; donc ses angles pourront être considérés comme des angles au centre, ou comme des secteurs composant ensemble le demi-cercle ; donc, leur somme sera égale à deux angles droits.

Mais ce raisonnement peut-il être regardé comme rigoureux ? On sait fort bien qu’une longueur finie disparaît devant une longueur infinie, lorsqu’on ne considère que les rapports des lignes ; mais ce n’est point de ces rapports, mais des propriétés des angles qu’il s’agit ici. Le raisonnement que nous venons d’employer suppose

Soient prolongés dans le même sens les trois côtés d’un triangle $T,$ et soient $A,B,C$ ses angles extérieurs ; en représentant par $D$ l’angle droit, on aura évidemment

$A+B+C+T=4D,$

d’où

${\frac {A}{D}}+{\frac {B}{D}}+{\frac {C}{D}}=4-{\frac {T}{D}},$

or, la fraction ${\frac {T}{D}},$ dont le numérateur est fini et le dénominateur infini, doit être réputée nulle, vis-à-vis des autres termes de l’équation ; de sorte qu’on doit avoir simplement

${\frac {A}{D}}+{\frac {B}{D}}+{\frac {C}{D}}=4\quad$ou$\quad A+B+C=4D,$

c’est-à-dire que la somme des angles extérieurs de tout triangle vaut quatre angles droits ; d’où il est facile de conclure que la somme de ses angles intérieurs en vaut deux.

J. D. G.