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$(a,b,c)$, donné dans l’espace, il faudra exprimer que l’équation (2) est satisfaite en y faisant simultanément $x=a,\ y=b,\ z=c,$ ce qui la changera en celle-ci :

${\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x'}}(a-x')+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y'}}(b-y')+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z'}}(c-z')=0,$

ou, ce qui revient au même,

${\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x'}}(x'-a)+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y'}}(y'-b)+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z'}}(z'-c)=0\,;\qquad$(4)

de sorte que les points de contact des plans tangens à la surface (1), issus du point $(a,b,c)$ seront donnés par le système des deux équations (3) et (4), ou, ce qui revient au même, par la combinaison de l’équation (1) avec l’équation

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}(x-a)+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}(y-b)+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}(z-c)=0\,;\qquad$(5)

ces points seront donc ceux où la surface proposée sera coupée par celle qu’exprime l’équation (5) ; c’est-à-dire, qu’ils seront ceux d’une certaine courbe à double courbure. Mais, d’un autre côté, il est visible que, si une surface conique ayant son sommet au point $(a,b,c)$, est circonscrite à la surface (1), tout plan tangent à cette surface conique le sera aussi à la surface (1) et passera par le point $(a,b,c)\,;$ donc la courbe de contact de la surface (1), avec la surface conique circonscrite, ayant son sommet en $(a,b,c)$ est le lieu des points de contact de cette surface (1) avec tous ses plans tangens issus du point $(a,b,c)\,;$ donc enfin la ligne de contact de cette surface (1), avec la surface conique circonscrite qui a son sommet en $(a,b,c),$ est donnée par le système des équations (1) et (5) ; d’où l’on voit que cette courbe de contact est située dans la surface exprimée par l’équation (5) ; elle appar-