Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/147

Cette surface du m.ième degré est ce que nous avons appelé (Annales, tom. xviii, pag.258) la surface polaire du sommet du cône, par rapport à la surface à laquelle il est circonscrit, considérée comme directrice.

Cette surface de m.ième classe est ce que nous avons appelé (Annales, tom. xviii, pag.258) la surface polaire du plan coupant, par rapport à la surface coupée par ce plan, considérée comme directrice.

Si le sommet $(a,b,c)$ de la surface conique circonscrite est mobile sur une droite donnée par les équations $x=\alpha z,\ y=\beta z,$ on devra avoir $a=\alpha c,\ b=\beta c,$ ce qui changera l’équation (6) en celle-ci

$\left(x{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}-mM\right)-c\left(\alpha {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}\right)=0\,;$ (7)

laquelle sera satisfaite, quel que soit $c$, en posant séparément

$x{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=mM.\quad \alpha {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0.$ (8)

Or, en faisant ainsi courir le sommet de la surface conique circonscrite le long d’une droite, les plans tangens à la surface (1), conduits par cette droite, ne cesseront pas d’être tangens à cette surface conique et auront conséquemment, avec la surface (1), les mêmes points de contact qu’elle ; donc on obtiendra ces points de contact en combinant l’équation (1) avec les deux équations(8) ; donc les équations (8) expriment une courbe à double courbure

et nous, ayons attribué ce théorème à M. Vallès, attendu qu’il se trouve formellement énoncé, bien que sans démonstration, dans l’Application de l’analyse à la géométrie de Monge ((édit. de 1807, pag. 15). Cela prouve que nous ne devons, ni l’un ni l’autre, lutter de mémoire avec M. Poncelet.

J. D. G.