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la troisième pour $r=a.$ En faisant usage de ces équations (9) et (10) on n’aura plus à s’occuper de la variable $\psi ,$ qu’elles ne contiennent pas explicitement.

(4) Dans un autre mémoire^[1] j’ai donné, sous forme finie, l’intégrale complète de l’équation (9) ; mais, pour résoudre le problème proposé, il sera plus commode, ainsi que je l’ai fait dans d’autres cas, d’employer la valeur de $\nu$ sous la forme équivalente

$\nu =\Sigma \left(Ue^{mz}+Ve^{-mz}\right)\,;$

$m$ étant une constante arbitraire, $e$ la base des logarithmes népériens, $U$ et $V$ des fonctions de $r$ et $t$ indépendantes de $z$, et $\Sigma$ une somme qui s’étend à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires de $m,U$ et $F.$

Pour satisfaire à la seconde équation (10), il faudra prendre

$U=Re^{-mh},\qquad V=Re^{mh},$

$R$ étant une nouvelle fonction de $r$ et $t$ On aura alors

$\nu =\Sigma \left(e^{m(h-z)}+e^{-m(h-z)}\right)R\,;$

et, si l’on substitue cette valeur de $\nu$ dans l’équation (9) qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de $z$, on en conclura

${\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} r}}-{\frac {n^{2}R}{r^{2}}}+m^{2}R=0.\qquad$(11)

On a vu, dans le mémoire que je viens de citer, qu’on satisfait à cette équation différentielle du second ordre, en prenant

1. Journal de l’École polytechnique, xix.^e cahier, pag. 215 et 475