![{\displaystyle \operatorname {f} r=\Sigma {\frac {\int _{0}^{a}Rr\operatorname {f} r.\operatorname {d} r}{\int _{0}^{a}R^{z}r\operatorname {d} r}}\left(\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Cos} .(mr\operatorname {Cos} .\omega )\operatorname {d} \omega \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c989acbe6742eb2ed86df237791363167e24109e)
et cette expression en série sera propre à représenter la fonction
pour toutes les valeurs de la variable, depuis
jusqu’à ![{\displaystyle r=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047ad184abc04a4fa181765dfce376f6ae7d01fa)
L’une des racines de l’équation (23) est
pour cette valeur de
on a
![{\displaystyle Z=1,\quad R=\varpi ,\quad k=0,\quad {\frac {\operatorname {Sin} .kt}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7162e1c17388b7ee1b151bdf7812fc15d5a16f)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \varphi ={\frac {gt}{\varpi a^{2}}}\Sigma \left(2\varpi \int _{0}^{a}r\operatorname {f} r.\operatorname {d} r\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54057f0ee28e128233c8d30ce44b07104b83e48)
mais, à cause de l’incompressibilité du fluide, le volume que représente
doit être égal à zéro, le terme de
qui répond à
est donc aussi nul ; et c’est pour cela que nous avons fait abstraction de cette racine de l’équation (23) en développant son premier membre.
(8) Observons, en terminant ce mémoire, que, si l’on différencie l’équation (2) par rapport à
, et qu’on ait égard à l’équation (6) ; on en conclura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} r}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dde3ad65043982944500fe5ba0044d99ffe985)
pour
Si donc on coupe la surface du fluide par un plan passant par l’axe du cylindre, les tangentes aux extrémités de la courbe d’intersection, c’est-à-dire, aux points où cette courbe rencontre la surface du vase, demeureront constamment horizontales,