![{\displaystyle (x-a)(y-b)(z-c)=(x-a')(y-b')(z-c')\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0e07b8be667fa763ce6a4500f59287eac3806d)
(1)
elle n’est évidemment que du second degré, et exprime conséquemment une surface du second ordre ; or, on y satisfait par ces trois systèmes d’équations
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&y=b,\\&z=c'\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&z=c,\\&x=a'\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=b'\,;\end{aligned}}\right.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc1029ad9990588b17b9bbf2e50746d6d33cd1c)
(2)
lesquelles expriment des droites respectivement parallèles aux trois axes, qu’on peut toujours supposer être trois de nos droites ; d’où il suit que l’équation (1) est celle de la surface du second ordre déterminée par ces trois droites. En la développant, elle devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a-a')yz-(bc-b'c')x\\+&(b-b')zx-(ca-c'a')y-(abc-a'b'c')\\+&(c-c')xy-(ab-a'b')z\end{aligned}}=0.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960a8bd32cc2c27ea9398dde318b087cdf07b27b)
(3)
Présentement, la quatrième droite, passant par l’origine, doit avoir des équations de la forme
![{\displaystyle {\frac {x}{a''}}={\frac {y}{b''}}={\frac {z}{c''}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b5fc6a3395e13449689c1a014395ccef0a9701)
(4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle x={\frac {a''}{c''}}z,\qquad y={\frac {b''}{c''}}z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00629d6cc448f33a8b4a33e37f5f927bd25c910a)
valeurs qui, substituées dans l’équation (3), la changent en celle-ci,