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$(x-a)(y-b)(z-c)=(x-a')(y-b')(z-c')\qquad$(1)

elle n’est évidemment que du second degré, et exprime conséquemment une surface du second ordre ; or, on y satisfait par ces trois systèmes d’équations

$\left\{{\begin{aligned}&y=b,\\&z=c'\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&z=c,\\&x=a'\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=b'\,;\end{aligned}}\right.\quad$(2)

lesquelles expriment des droites respectivement parallèles aux trois axes, qu’on peut toujours supposer être trois de nos droites ; d’où il suit que l’équation (1) est celle de la surface du second ordre déterminée par ces trois droites. En la développant, elle devient

${\begin{aligned}&(a-a')yz-(bc-b'c')x\\+&(b-b')zx-(ca-c'a')y-(abc-a'b'c')\\+&(c-c')xy-(ab-a'b')z\end{aligned}}=0.\quad$(3)

Présentement, la quatrième droite, passant par l’origine, doit avoir des équations de la forme

${\frac {x}{a''}}={\frac {y}{b''}}={\frac {z}{c''}},\qquad$(4)

d’où l’on tire

$x={\frac {a''}{c''}}z,\qquad y={\frac {b''}{c''}}z\,;$

valeurs qui, substituées dans l’équation (3), la changent en celle-ci,