valeur fût comprise entre et il faudrait d’abord que fût égal à plus une fraction ; il faudrait donc que fût plus petit que l’unité, ce qui exigerait que fût égal à plus une fraction ; d’où l’on voit que et devraient être respectivement égaux aux deux premiers termes de la période qui répond à ou aux deux derniers de la période qui répond à ; de sorte que, contrairement à l’hypothèse, la valeur serait immédiatement périodique. On prouverait, par un raisonnement analogue, que les périodes ne sauraient être précédées d’un plus grand nombre de termes n’en faisant pas partie.
Lors donc qu’on traitera une équation numérique par la méthode de Lagrange, on sera sûr qu’il n’y a point de racines périodiques à espérer tant qu’on ne rencontrera pas une transformée ayant au moins une racine positive plus grande que l’unité, et une autre comprise entre et ; et si, en effet, la racine que l’on poursuit doit être périodique, ce sera tout au plus à cette transformée que les périodes commenceront.
Si l’une des racines d’une équation du second degré est non seulement immédiatement périodique mais encore symétrique, c’est à-dire, si les termes de la période sont égaux à égale distance des extrêmes, on aura ; de sorte que ces deux racines seront et ; l’équation sera donc
Réciproquement ; toute équation du second degré de la forme
aura ses racines à la fois immédiatement périodiques et symétriques. En effet, en mettant tour à tour pour l’infini et on
