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Cela posé, les équations (7) peuvent être écrites ainsi :

${\frac {a}{r}}x+{\frac {b}{r}}y+{\frac {c}{r}}z={\frac {1}{r}},\quad {\frac {a'}{r'}}x+{\frac {b'}{r'}}y+{\frac {c'}{r'}}z={\frac {1}{r'}},$

${\frac {a''}{r''}}x+{\frac {b''}{r''}}y+{\frac {c''}{r''}}z={\frac {1}{r''}}\,;$

prenant alors la somme de leurs carrés, en ayant égard aux relations (10), il viendra simplement

$x^{2}+y^{2}+x^{2}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r'^{2}}}+{\frac {1}{r''^{2}}}.\qquad$(11)

Supposons présentement que deux des sections principales des trois ellipsoïdes aient les mêmes foyers, et, par suite, même excentricité, on aura ainsi

${\frac {1}{A}}-{\frac {1}{C}}={\frac {1}{A'}}-{\frac {1}{C'}}={\frac {1}{A''}}-{\frac {1}{C''}},\quad {\frac {1}{B}}-{\frac {1}{C}}={\frac {1}{B'}}-{\frac {1}{C'}}={\frac {1}{B''}}-{\frac {1}{C''}}\,;$

d’où, en retranchant,

${\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}={\frac {1}{A'}}-{\frac {1}{B'}}={\frac {1}{A''}}-{\frac {1}{B''}}\,;$

$\left.{\begin{aligned}&p^{2}+p'^{2}+p''^{2}=1,&qr+q'r'+q''r''=0,\\\\+&q^{2}+q'^{2}+q''^{2}=1,&rp+r'p'+r''p''=0,\\\\+&r^{2}+r'^{2}+r''^{2}=1,&pq+p'q'+p''q''=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(5)

relations qui, conséquemment, doivent être équivalentes avec les relations (3). Nous nous sommes déjà appuyés (Annales, tom. xii, pag. 163) sur cette équivalence signalée, pour la première fois, par Lagrange dans sa Mécanique analitique, et dont M. Poisson a donné postérieurement une démonstration fort élégante dans la Correspondance de M. Hachette (tom. I, pag. 237).

J. D. G.