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${\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{C}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r'^{2}}}+{\frac {1}{r''^{2}}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{C}}-{\frac {1}{B'}}-{\frac {1}{C''}}\,;$

c’est-à-dire, en réduisant et ayant égard aux relations (12),

${\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r'^{2}}}+{\frac {1}{r''^{2}}}={\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}+{\frac {1}{C''}}={\frac {1}{A'}}+{\frac {1}{B''}}+{\frac {1}{C}}={\frac {1}{A''}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{C'}},$

au moyen de quoi l’équation (11) deviendra

$x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}+{\frac {1}{C''}}={\frac {1}{A'}}+{\frac {1}{B''}}+{\frac {1}{C}}={\frac {1}{A''}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{C'}}\,;$

ce qui permet d’écrire, pour plus de symétrie,

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=$

${\frac {1}{3}}\left\{\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{C}}\right)+\left({\frac {1}{A'}}+{\frac {1}{B'}}+{\frac {1}{C'}}\right)+\left({\frac {1}{A''}}+{\frac {1}{B''}}+{\frac {1}{C''}}\right)\right\}\,;$ (13)

équation d’une sphère qui a son centre à l’origine.

Si, au lieu de trois ellipsoïdes en avait trois hyperboloïdes, ou bien deux ellipsoïdes avec une hyperboloïde, ou encore deux hyperboloïdes avec un ellipsoïde, il n’en résulterait que de simples changemens de signes dans quelqu’un des neuf coefficiens $A,B,C,A',B',C',A'',B'',C''$ ; le lieu cherché serait donc toujours une sphère, qui pourrait seulement se réduire quelquefois à un point, ou même devenir imaginaire. On a donc ce théorème :

THÉORÈME I. Si un angle trièdre tri-rectangle se meut dans l’espace, de manière que ses faces touchent respectivement trois surfaces du second ordre dont les sections principales soient bi-confocales, son sommet décrira une sphère qui leur sera concentrique.

De là on conclura facilement cet autre théorème :

THÉORÈME II. Si un angle trièdre tri-rectangle se meut dans l’espace, de manière que ses faces touchent respectivement trois surfaces du second ordre dépourvues de centres, dont les sections