Si un rectangle a ses côtés respectivement parallèles aux asymptotes d’une hyperbole équilatère, et deux sommets opposés sur cette courbe, la diagonale oui joindra les deux sommets restons passera par le centre de l’hyperbole.
Ce théorème, de nature projective, peut être ensuite généralisé comme il suit :
Si un parallélogramme a ses côtés respectivement parallèles aux deux asymptotes d’une hyperbole quelconque, et deux sommets opposés sur la courbe, la diagonale, joignant les deux côtés restons, contiendra le centre de l’hyperbole.
De là résulte un procédé fort simple pour déterminer le centre d’une hyperbole lorsqu’on en donne trois points et qu’on donne en outre des parallèles à ses deux asymptotes.
Soit le point où se croisent les cordes d’une conique vues de l’un de ses points sous un angle droit, et soit la droite polaire de ce point ; en plaçant le centre du cercle directeur au point et représentant par la polaire réciproque de par celle du point et par le pôle de il est visible que sera une parabole qui aura pour directrice et pour foyer ; par un raisonnement analogue à l’un des précédens, on pourra donc prouver que les pieds des perpendiculaires abaissées du point sur les trois côtés d’un triangle inscrit à et sur la droite sont situés sur la même circonférence ; or, le dernier de ces points est invariable ;
Donc, 1.o si, d’un point fixe, pris sur une conique, on abaisse des perpendiculaires sur les directions des côtés de tant de triangles inscrits qu’on voudra, les circonférences déterminées par les pieds des perpendiculaires relatives à ces différens triangles se couperont toutes au même point ; 2.o la perpendiculaire élevée de ce point à la droite qui le joint au point de départ des perpendiculaires, sera la polaire du point où se croisent toutes les cordes de la conique vues du premier de ces points sous un angle droit.
