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$\operatorname {Sin} .\omega ={\frac {\sqrt {\left(G-x^{2}\right)\left(H+x^{2}\right)}}{2m\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;\qquad$(9)

ce qui donnera, en substituant dans (7),

$\operatorname {d} t={\frac {2\operatorname {d} x}{\sqrt {\left(G-x^{2}\right)\left(H+x^{2}\right)}}}\,;\qquad$(10)

telle est donc l’équation qu’il faudrait intégrer pour obtenir la solution la plus générale du problème.

Afin de pouvoir poursuivre l’intégration, sans trop particulariser la solution, posons $H=0,$ c’est-à-dire (1) et (8),

$2\varpi g^{2}\left({\frac {1}{\tau }}-{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}\right)^{2}=r(1-\operatorname {Cos} .\beta )\operatorname {Cos} .\alpha \,;\qquad$(11)

ce qui peut arriver de bien de manières différentes, puisque nous n’établissons ainsi qu’une relation unique entre les cinq données arbitraires et indépendantes $r,\alpha ,\beta ,\tau ,T\,;$ il en résultera $G=4m\operatorname {Cos} .\alpha$ ; de sorte que l’équation (10) deviendra

$\operatorname {d} t={\frac {2\operatorname {d} x}{x{\sqrt {4m\operatorname {Cos} .\alpha -x^{2}}}}},$

dont l’intégrale sera

$t+B={\frac {1}{2{\sqrt {m\operatorname {Cos} .\alpha }}}}\operatorname {Log} .{\frac {{\sqrt {4m\operatorname {Cos} .\alpha -x^{2}}}-2{\sqrt {m\operatorname {Cos} .\alpha }}}{{\sqrt {4m\operatorname {Cos} .\alpha -x^{2}}}+2{\sqrt {m\operatorname {Cos} .\alpha }}}}\,;\quad$(12)

$B$ étant une nouvelle constante arbitraire.

Dans l’hypothèse actuelle de $H=0,$ l’équation (6) donne en quarrant

$x^{2}=2m\operatorname {Cos} .\alpha .(1-\operatorname {Cos} .\omega ),$

d’où