Si alors on conçoit par le sommet une parallèle à ces deux droites, cette parallèle divisera l’angle en deux parties respectivement égales aux angles que forment et avec les prolongemens de et donc la somme de ces deux derniers angles, est égale à l’angle donc aussi la somme des deux angles et respectivement égaux à ces deux-là, doit aussi être égale à l’angle mais l’angle est supplément de la somme des deux angles et donc il doit être aussi supplément de l’angle d’où il suit que les quatre points appartiennent à une même circonférence ; on a donc ce théorème :
« Toutes les paraboles, touchant à la fois les trois côtés d’un même triangle, ont leurs foyers sur la circonférence du cercle circonscrit, et, réciproquement, tout point de la circonférence du cercle circonscrit à un triangle est le foyer d’une parabole touchée à la fois par les trois côtés de ce triangle ».
D’après ce qui a été démontré ci-dessus (5, 2.o), les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer d’une parabole sur ses tangentes sont tous situés sur la tangente au sommet de la courbe, et conséquemment en ligne droite ; en combinant donc cette proposition avec celle qui vient d’être démontrée, on parviendra à ce théorème connu[1] :
« Les pieds des perpendiculaires abaissées sur les directions des trois côtés d’un triangle, de l’un quelconque des points de la circonférence du cercle circonscrit, appartiennent tous trois à une même droite ».
Il ne sera pas difficile de parvenir par les mêmes considérations à ce théorème plus général :
« Si, de l’un quelconque des points de la circonférence du cers-
- ↑ Voy. Annales, tom. IV, pag. 251.
J. D. G.
