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Donc (8) on a le théorème suivant :

« Tout point $\mathrm {P,}$ pris arbitrairement dans le plan d’un triangle $\mathrm {ABC,}$ est le foyer d’une conique touchant à la fois les trois côtés de ce triangle ; or, 1.^o cette conique sera une parabole si le point $\mathrm {P}$ est sur la circonférence du cercle circonscrit au triangle ; 2.^o ce sera une ellipse si le point $\mathrm {P}$ est intérieur au triangle, ou bien si, étant extérieur au cercle, il se trouve situé dans l’espace terminé par un quelconque des côtés de ce triangle, et les prolongemens des deux autres ; 3.^o enfin la courbe sera une hyperbole si le point $\mathrm {P}$ est à la fois intérieur au cercle et extérieur au triangle, ou bien s’il se trouve situé dans l’opposé au sommet de l’un des angles de ce triangle^[1] ».

Et réciproquement,

« Une conique touchant à la fois les trois côtés d’un triangle $\mathrm {ABC} \,;$ 1.^o si cette conique est une parabole, son foyer sera situé sur la circonférence du cercle circonscrit ; 2.^o si cette conique est une ellipse, ou bien elle aura ses deux foyers intérieurs au triangle, ou bien ils seront tous deux extérieurs au cercle et situés dans l’espace circonscrit par l’un des côtés de ce triangle, et les prolongemens des deux autres ; 3.^o enfin, si cette conique est une hyperbole, un de ses foyers sera compris dans l’un des trois segmens du cercle circonscrit extérieur au triangle, tandis que l’autre se trouvera situé dans l’opposé au sommet de l’angle respectivement opposé de ce triangle ».

Ce que nous avons dit ci-dessus (5, 3.^o) permet de préciser mieux encore la situation relative des deux foyers dans le cas de l’ellipse et dans celui de l’hyperbole ; il en résulte, en effet, que deux tangentes étant menées d’un même point à la courbe, et étant menées les deux droites qui divisent en deux parties égales les qua-

1. C’est le théorème 32 que nous avions propose à démontrer à la pag. du II.^me volume du Journal de M. Crelle.