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courbe peut être considérée comme ayant, avec cette courbe, deur points communs qui se confondent en un seul.

Puisque la tangente à une courbe a, en son point de contact, même direction que la courbe en ce point, il, ensuit que, par le point de contact d’une tangente, il est impossible de mener une droite qui, à partir de ce point, passe entre elle et la courbe ; car la direction d’une telle droite, approchant plus alors de celle de la courbe que ne le ferait la direction de la tangente, il ne serait plus vrai de dire que cette dernière direction est, au point de contact, celle de la courbe même.

iv. Si, continuant à représenter par $t$ et $u$ les deux coordonnées d’un même point quelconque de la courbe, on représente par $u_{1}$ la coordonnée de la tangente qui répond à $t$ on aura (6)

$0={\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u_{1}.\qquad$(11)

En retranchant cette équation de l’équation (4), il viendra

$-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\left(u-u_{1}\right)={\frac {1}{1.2}}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u^{2}\right)+\ldots$ (12)

Or, on peut toujours supposer $t$ et $u$ assez petits, sans être nuls, pour ne faire dépendre le signe du second membre que du signe, de l’ensemble de ses termes de deux dimensions, lequel reste invariablement le même si $t$ et $u$ changent de signes à la fois, comme il arrive en passant d’un côté à l’autre de l’origine, d’après la remarque qui a été faite ci-dessus ; donc aussi on peut toujours concevoir un arc s’étendant assez peu de part et d’autre de l’origine des $t$ et $u$, pour que, dans toute son étendue, $u-u_{1}$ conserve invariablement le même signe ; ce qui revient à dire qu’on peut toujours concevoir un arc de courbe, étendant assez peu de part et d’autre de son point de contact avec une tangente,