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Supposons donc qu’on ait trouvé

${\sqrt[{2^{k}}]{-1}}=a+b{\sqrt {-1}}\,;$

$a$ et $b$ étant deux quantités réelles, on aura

${\sqrt[{2^{k+1}}]{-1}}={\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}.$

Posons donc

${\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}=x+y{\sqrt {-1}}\,;$

d’où, en quarrant,

$a+b{\sqrt {-1}}=\left(x^{2}-y^{2}\right)+2xy{\sqrt {-1}}\,;$

ce qui donnera, en égalant séparément le réel et l’imaginaire,

$x^{2}-y^{2}=a,\qquad 2xy=b\,;$

en extrayant la racine quarrée de la somme des quarrés de ces deux équations, on aura

$x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,;$

cela donnera

$2x^{2}=a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\qquad 2y^{2}=a-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,;$

et conséquemment

$x={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)}},\qquad y={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)}},$

ce qui donnera, en substituant

${\sqrt[{2^{k+1}}]{-1}}={\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}={\frac {1}{2}}\left\{{\sqrt {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}+{\sqrt {a-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}\right\}{\sqrt {2.}}$