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${\begin{aligned}&x=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\pm {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\pm {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.{\sqrt {-1}}\right).\end{aligned}}$

14. Pour les mêmes raisons que ci-dessus, nous passerons de suite à la supposition $m=10$ ; les équations à résoudre seront ainsi

$x^{10}-1=0,\qquad x^{10}+1=0\,;$

la première revient à

$\left(x^{5}-1\right)\left(x^{5}+1\right)=0,$

et donne (11) pour ses racines

$x=\pm 1,\quad {\begin{aligned}&x=+{\frac {1}{4}}\left\{\left(1+{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x=-{\frac {1}{4}}\left\{\left(1+{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x=+{\frac {1}{4}}\left\{\left(1-{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x=-{\frac {1}{4}}\left\{\left(1-{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\}\,;\end{aligned}}$

les racines de l’autre seront donc (4)

$x=\pm 1,\quad {\begin{aligned}&x=+{\frac {1}{4}}\left\{{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\pm \left(1-{\sqrt {5}}\right).{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x=-{\frac {1}{4}}\left\{{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\pm \left(1-{\sqrt {5}}\right).{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x=+{\frac {1}{4}}\left\{{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\pm \left(1+{\sqrt {5}}\right).{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x=-{\frac {1}{4}}\left\{{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\pm \left(1+{\sqrt {5}}\right).{\sqrt {-1}}\right\}\,;\end{aligned}}$

15. Soit $m=12\,;$ les équations à résoudre seront