C’est là ce qu’on fait, en effet, lorsqu’il s’agit d’exprimé eu fraction une grandeur moindre que l’unité, ou, ce qui revient au même, lorsqu’il s’agit d’exprimer numériquement le rapport entre deux grandeurs homogènes ; et c’est même très-probablement le désir d’exprimer constamment ce rapport de la manière la plus simple qui a donné naissance à la théorie du plus grand commun diviseur, dont les besoins de la géométrie et de l’analyse ont fait étendre ensuite les applications à deux lignes droites, à deux arcs de même rayons et enfin à deux polynomes.
Mais on peut aussi avoir à exprimer le rapport entre plus de deux grandeurs homogènes, et désirer également d’obtenir ce rapport sous la forme la plus simple ; or, les élémens, même les plus complets, demeurent tout à fait muets sur la manière de résoudre ce problème.
En outre, la méthode que l’on donne, dans tous les traités, comme méthode normale, pour la réduction des fractions au même dénominateur, est rarement propre à donner les fractions transformées sous la forme la plus simple. À la vérité, dans plusieurs de ces ouvrages, on fait remarquer que souvent la forme particulière des fractions proposées permet d’obtenir des fractions plus simples que celles auxquelles conduit l’application du procédé ordinaire ; mais, au lieu de donner sur ce sujet des préceptes généraux, on se borne, pour l’ordinaire, à un exemple unique, et on se repose, pour le surplus, sur l’adresse et l’intelligence du calculateur.
Étrange bizarrerie ; on réprimanderait durement un élève qui annoncerait, comme résultat final de quelque recherche, que deux longueurs proposées sont entre elles comme les nombres et attendu que le rapport entre ces deux nombres peut être remplacé par le rapport plus simple de à ; et, bien que le rapport entre les trois nombres puisse également être remplacé par le rapport plus simple entre les trois nombres on ne saurait néanmoins
