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plus petits que leur produit, lesquels toutefois ne sauraient être moindres que le plus grand d’entre eux. D’où l’on voit que, parmi les dividendes communs à plusieurs nombres, il en est toujours un qui est le plus petit de tous. Tel est, par exemple, le nombre $60,$ par rapport aux nombres $10{,}12{,}15.$

10. Des nombres sont dits premiers entre eux, lorsqu’ils n’ont d’autres diviseurs communs que l’unité. Tels sont, par exemple, les quatre nombres $24{,}25{,}27{,}30.$

11. THÉORÈME. Si, en divisant plusieurs nombres donnés par un de leurs diviseurs communs, on obtient des quoiiens qui ne soient pas premiers entre eux ; ces nombres auront au moins un autre diviseur commun, plus grand que celui-là.

Démonstration. Soit $d$ un diviseur commun aux nombres $G,H,K,\ldots$$T,U,V,$ dont la division, par ce diviseur, donne les quotiens, non premiers entre eux, $g\delta ,h\delta ,k\delta ,\ldots t\delta ,u\delta ,v\delta \,;$ on aura ainsi

$G=gd\delta ,\ H=hd\delta ,\ K=kd\delta ,\ldots T=td\delta ,\ U=ud\delta ,\ V=vd\delta \,;$

or, si l’on pose $d\delta =D>d,$ on tirera de là

${\frac {G}{D}}=g,\ {\frac {H}{D}}=h,\ {\frac {K}{D}}=k\ldots {\frac {T}{D}}=t,\ {\frac {U}{D}}=u,\ {\frac {V}{D}}=v\,;$

d’où l’on voit que $D>d$ sera un autre diviseur commun, comme nous lavions annoncé.

12. Donc, si l’on divise plusieurs nombres donnés par leur plus grand diviseur commun, on obtiendra des quotiens premiers entre eux, car, s’il en était autrement, on prouverait (11) qu’il existe un autre diviseur commun plus grand que celui-là.

13. THÉORÈME. Si, en divisant tour à tour plusieurs nombres donnés par deux de leurs diviseurs communs, l’un de ces diviseurs donne des quotiens premiers entre eux, celui-là sera nécessairement le plus grand des deux.