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26. Si donc l’on sait seulement déterminer le plus petit dividende commun à deux nombres proposés, on pourra toujours réduire à un de moins tant de nombres qu’on voudra, dont on aura à chercher le plus petit dividende commun ; on pourra donc, de proche en proche, réduire ces nombres à deux seulement.

27. THÉORÈME. Le quouent de la division du produit de deux nombres par leur plus grand diviseur commun est leur plus petit dividende commun.

Démonstration. Soient $G$ et $H$ deux nombres dont $d$ soit le plus grand diviseur commun ; il s’agit de prouver que, si l’on a ${\frac {GH}{d}}=D,\ D$ sera le plus petit dividende commun aux deux nombres $G$ et $H.$

Soient, en effet, $g$ et $h$ les quotiens qu’on obtient respectivement en divisant $G$ et $H$ par $d$ ces quotiens seront (12) premiers entre eux et l’on aura

$G=gd,\ H=hd,\quad$d’où$\quad GH=ghd^{2}\,;$

on aura donc $D=ghd,$ et, par suite,

${\frac {D}{G}}=h,\qquad {\frac {D}{H}}=g\,;$

les quotiens qu’on obtient en divisant $D,$ tour à tour, par $G$ et $H'$ sont donc premiers entre eux ; $D$ est donc (21), comme nous l’avions annoncé, leur plus petit dividende commun.

28. Si donc l’on sait seulement déterminer le plus grand diviseur commun à deux nombres proposés, on saura aussi déterminer le plus peîft dividende commun à ces deux nombres.

29. THÉORÈME. Le plus grand diviseur commun au plus petit de deux nombres et au reste de leur division, est aussi le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.

Démonstration. Soient $G$ et $H$ ces deux nombres, $H$ le plus petit, $Q$ le quotient et $R$ le reste de leur division. Il s’agit de prouver que, si $d$ est le plus grand diviseur commun à $H$ et $R,$ ce sera aussi le plus grand diviseur commun à $G$ et $H.$