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${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}(a-x')+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}(b-y')=0\,;\qquad$(18)

équation qui, combinée avec l’équation (2), fera connaître les points de contact de toutes les tangentes qui peuvent être menées à la courbe par le point $(a,b).$

Au lieu de résoudre les équations (2) et (18), par rapport à $x'$ et $y',$ on peut chercher les intersections des deux courbes quelles expriment, ou, ce qui revient au même, chercher les intersections de la courbe (1) avec la courbe exprimée par l’équation

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}(x-a)+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}(y-b)=0\,;\qquad$(19)

cette dernière est donc celle d’une courbe qui coupe la proposée aut points de contact de toutes les tangentes qui peuvent lui être menées du point $(a,b).$

Si l’on demandait de mener à la courbe (1) une tangente parallèle à une droite donnée par l’équation

${\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}},\qquad$(20)

la condition de parallélisme de cette droite avec la droite (17) serait exprimée par l’équation

$a{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+b{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}=0\,;\qquad$(21)

d’où, il suit, en raisonnant comme ci-dessus, que l’équation

$a{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0,\qquad$(22)

est celle d’une courbe qui coupe la proposée aux points de con-