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{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{0}}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{1}}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots ={\frac {\varepsilon \operatorname {f} (x)}{K\omega }}\left(u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots \right)\,;

or, cette équation est satisfaite si l’on pose, ce qui est permis,

{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{0}}{\operatorname {d} x^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{1}}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\varepsilon \operatorname {f} (x)}{K\omega }}u_{0},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\varepsilon \operatorname {f} (x)}{K\omega }}u_{1},\ldots \,;

d’où on tire, en nommant $A,B,$ deux constantes arbitraires

{\begin{alignedat}{1}u_{0}=&A+Bx,\\u_{1}=&\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}(A+Bx){\frac {\varepsilon }{K\omega }}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x,\\\\u_{2}=&\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}(A+Bx){\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x,\\\end{alignedat}}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La somme de ces quantités sera la valeur de $u$ et l’intégrale l’équation proposée si toutefois la suite infinie, fournie par cette somme, est une suite convergente ; circonstance dont il est facile de s’assurer, comme on va le voir. On considère séparément les deux séries

A\left\{1+{\frac {\varepsilon }{K\omega }}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\right.

\left.+{\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\ldots \right\}\,;

B\left\{x+{\frac {\varepsilon }{K\omega }}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\right.

\left.+{\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\ldots \right\}\,;