Prenant alors les équations définies,
pour
; pour
; elles donnent
![{\displaystyle \Sigma e^{-mt}.\left\{A_{m}\varphi (0,m)+B_{m}\psi (0,m)\right\}=\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece521af4d7e576c8f89faa09e6d449ba2196140)
![{\displaystyle \Sigma e^{-mt}.\left\{A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)\right\}=\theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e244a91de61d47059e7bcabf6bd00ae35856903)
Or, on a
![{\displaystyle \varphi (0,m)=1,\qquad \psi (0,m)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ab5dac5836f12b6552404bb2b9f403843b7969)
les équations précédentes se réduisent donc à
![{\displaystyle \Sigma e^{-mt}.A_{m}=\theta ,\qquad \Sigma e^{-mt}.\left\{A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)\right\}=\theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5110f8a93a0533a8d4f05a182f2c444155c7d7)
Elles doivent subsister quel que soit
en sorte qu’il y a une valeur de
égale à zéro, à laquelle répondent les coefficiens
![{\displaystyle A_{0}=\theta ,\qquad B_{0}={\frac {\theta '-\theta \varphi (l',0)}{\psi (l',0)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6da06f5f510be18c0b8046c0ba13a936a22d833)
ce qui détermine complètement le premier terme
de la température. Les autres valeurs de
sont en nombre infini. À ces valeurs répondent les égalités
![{\displaystyle A_{m}=0,\qquad A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b73c8b550e4b1b522f987de66b16e7fdce209d4)
lesquelles se réduisent à
Ainsi donc c’est l’équation
ou
![{\displaystyle l'+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9419e2e6270b4006c48fba8d638c9c66107c9f7)
![{\displaystyle +{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6637c36245774d1f4dbdecb263d78e8fe9d422)
qui détermine tous les nombres que
représente. C’est cette équation qu’il faut discuter et dont il s’agit de trouver les racines.
xx. Je poserai