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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$S'=0,\quad {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}=0\quad {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}=0,\qquad$(32)

sont, en général ; incompatibles.

Alors l’équation (4) se réduit à

${\begin{aligned}&{\begin{array}{r|}0={\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t^{2}\\\\+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u^{2}\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{array}{r|}{\frac {1}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}t^{3}\\\\+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}t^{2}u\\\\+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}tu^{2}\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}u^{3}\end{array}}\left.{\begin{array}{r}{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots \\\\\\+\ldots \\\\+\ldots \\\\\\+\ldots \end{array}}\right\}\,;$ (33)

Or, si l’on veut ne considérer qu’un fort petit arc s’étendant très-peu départ et d’autre de l’origine des $t$ et $u$, pour tous les points de cet arc, $t$ et $u$ seront de fort petites quantités ; de sorte qu’on pourra, sans erreur sensible, faire abstraction des termes de plus de deux dimensions en $t$ et $u$, dans le second membre de l’équation (33). On peut donc dire que, pour l’arc dont il s’agit, l’équation sera sensiblement

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u^{2}=0,\qquad$(34)

et représentera d’autant plus approximativement l’arc de courbe, que cet arc sera plus petit, puisqu’alors les termes négligés en auront des valeurs d’autant moindres ; elle exprimera donc rigoureusement l’arc dont il s’agit, lorsqu’il se réduira à l’origine des $t$ et $u,$ c’est-à-dire au point $(x',y')$.

Or, l’équation (34) exprime deux droites qui se coupent, deux