Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/274

$B={\frac {x-2x^{2}+1.2.3x^{3}-1.2.3.4x^{4}+1.2.3.4.5x^{5}+\ldots }{1-x+1.2x^{2}-1.2.3x^{3}+1.2.3.4x^{4}-1.2.3.4.5x^{5}+\ldots }}\,;$

il pose de nouveau $B={\frac {x}{1+C}},$ d’où il tire

$C={\frac {x-4x^{2}+18x^{3}-96x^{4}+600x^{5}-4320x^{6}+\ldots }{1-1.2x+1.2.3x^{2}-1.2.3.4x^{3}+1.2.3.4.5x^{4}-\ldots }}\,;$

il pose ainsi successivement

$A={\frac {x}{1+B}},\ B={\frac {x}{1+C}},\ C={\frac {x}{1+D}},\ D={\frac {x}{1+E}},\ E={\frac {x}{1+F}},\ldots$

ce qui lui donne finalement, comme on peut le voir dans l’ouvrage cité (pag. 392) où tout le calcul est développé,

$x-1.x^{2}+1.2x^{3}-1.2.3x^{4}+1.2.3.4x^{5}-1.2.3.4.5x^{6}+\ldots$

$={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {3x}{1+{\cfrac {3x}{1+{\cfrac {4x}{1+{\cfrac {4x}{1+{\cfrac {5x}{1+{\cfrac {5x}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

En posant, $x=1,$ on a

$1-1+1.2-1.2.3+1.2.3.4-1.2.3.4.5+\ldots$

$={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {4}{1+{\cfrac {4}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

ce qui donne les réduites successives