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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

dont la dernière donne la valeur de ${\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}$ avec douze chiffres décimaux exacts. Il est facile ensuite d’en conclure la valeur de $e$.

Appliquons encore notre procédé au développement de $\operatorname {Tang} .x$ en fraction continue. On a

$\operatorname {Tang} .x={\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots }{1-{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots }}.$

En cherchant, comme ci-dessus, le plus grand commun diviseur des deux termes de la fraction, on trouvera les quotiens et les restes successifs tels qu’ils se présentent dans le tableau suivant :

${\begin{array}{r|l}&1+{\frac {x^{2}}{1.2}}\quad +{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}\ \ -{\frac {x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}\ \ \ +{\frac {x^{8}}{1.2.3.4.5.6.7.8}}-\ldots \\\\+{\frac {1}{x}}&x-{\frac {x^{3}}{1.2.3}}\ \ +{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+{\frac {x^{9}}{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}-\ldots \\\\-{\frac {3}{x}}&\ \ -{\frac {2x^{2}}{1.2.3}}\ \ +{\frac {4x^{4}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {6x^{6}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ {\frac {8x^{8}}{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}-\ldots \\\\+{\frac {5}{x}}&\ \ -{\frac {x^{3}}{1.3.5}}\ \ +{\frac {x^{5}}{5.6.7}}\quad -{\frac {2x^{7}}{5.6.7.8.9}}+\ldots \\\\-{\frac {7}{x}}&\ \ +{\frac {2x^{4}}{5.6.7}}\ \ -{\frac {x^{6}}{5.6.7.9}}\ \ +\ldots \\\\+{\frac {9}{x}}&\ \ +{\frac {2x^{5}}{5.6.7.9}}-\ldots \\\\\ldots &\ \ \ldots \end{array}}$

d’où on conclura