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$C_{1}C_{6}-C_{2}C_{5}=-C_{4}D_{3},\quad C_{1}C_{7}-C_{3}C_{5}=-C_{4}D_{4},$

$C_{2}C_{7}-C_{3}C_{6}=-C_{4}D_{5},$ (23)

tous ses termes étant alors divisibles par $C_{4}^{2},$ elle deviendrait simplement

$\left.{\begin{aligned}&C_{4}^{4}-\left(C_{3}C_{5}+2C_{2}C_{6}+3C_{1}C_{7}\right)C_{4}^{2}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left(C_{2}C_{5}^{2}+3C_{1}C_{5}C_{6}+3C_{2}C_{3}C_{7}+C_{3}^{2}C_{6}\right)C_{4}\\\\&+\left\{3C_{1}^{2}C_{7}^{2}-2\left(C_{1}C_{3}C_{6}^{2}+C_{2}^{2}C_{5}C_{7}\right)-\left(C_{1}C_{5}^{3}+C_{3}^{3}C_{7}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left(C_{2}C_{6}+C_{1}C_{7}\right)\left(C_{2}C_{6}-C_{3}C_{5}\right)\right\}\\\\&-\left\{C_{1}(C_{6}^{2}-2C_{5}C_{7})D_{3}-\left(C_{1}C_{5}C_{6}+C_{2}C_{3}C_{7}\right)D_{4}+C_{7}\left(C_{2}^{2}-2C_{1}C_{3}\right)D_{5}\right\}\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -C_{1}C_{7}\left(D_{4}^{2}-D_{3}D_{5}\right)=0\,;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(24)}$

de manière qu’elle ne s’élèverait plus qu’au seizième degré.

Quatrième Degré.

Soient encore les deux proposées du quatrième degré

$\left.{\begin{aligned}&A_{0}x^{4}+A_{1}x^{3}+A_{2}x^{2}+A_{3}x+A_{4}=0,\\&B_{0}x^{4}+B_{1}x^{3}+B_{2}x^{2}+B_{3}x+B_{4}=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(25)

si l’on prend, tour à tour, la somme de leurs produits respectifs, d’abord par $-B_{0}$ et $+A_{0},$ puis par $+B_{4}$ et $-B_{4}$ ; en divisant par $x$ la dernière des équations résultantes, et posant, pour abréger

$\left.{\begin{array}{c}A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}=C_{1},\qquad A_{3}B_{4}-A_{4}B_{3}=C_{7},\\A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}=C_{2},\qquad A_{2}B_{4}-A_{4}B_{2}=C_{6},\\A_{0}B_{3}-A_{3}B_{0}=C_{3},\qquad A_{1}B_{4}-A_{4}B_{1}=B_{5},\\A_{0}B_{4}-A_{4}B_{0}=C_{4},\\A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=D_{3},\ \ A_{1}B_{3}-A_{3}B_{1}=D_{4},\ \ A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}=B_{5}\,;\end{array}}\right\}\mathrm {(26)}$

d’où résulte