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Reprenons donc les deux équations générales :

$\left.{\begin{aligned}A_{0}x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}\ldots +A_{m-2}x^{2}+A_{m-1}x+A_{m}=0,\\B_{0}x^{m}+B_{1}x^{m-1}+B_{2}x^{m-2}\ldots +B_{m-2}x^{2}+B_{m-1}x+B_{m}=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad (\alpha )$

la première remarque qui se présente est qu’en y changeant $A$ en $B$ et $B$ en $A,$ on a toujours le même problème à résoudre ; d’où il suit évidemment que l’équation en $y$ doit être de telle forme qu’on y puisse impunément opérer une semblable permutation.

Ces deux équations peuvent être écrites comme il suit :

$\left.{\begin{aligned}&A_{m}\left({\frac {1}{x}}\right)^{m}+A_{m-1}\left({\frac {1}{x}}\right)^{m-1}+A_{m-2}\left({\frac {1}{x}}\right)^{m-2}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +A_{2}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}+A_{1}\left({\frac {1}{x}}\right)+A_{0}=0,\\\\&B_{m}\left({\frac {1}{x}}\right)^{m}+B_{m-1}\left({\frac {1}{x}}\right)^{m-1}+B_{m-2}\left({\frac {1}{x}}\right)^{m-2}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +B_{2}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}+B_{1}\left({\frac {1}{x}}\right)+B_{0}=0\,;\end{aligned}}\right\}(\beta )$

or, il revient évidemment au même d’éliminer $x$ entre les équations $(\alpha ),$ ou d’éliminer ${\frac {1}{x}}$ entre les équations $(\beta )$ ; donc le résultat de la première des deux éliminations doit être tel que les coefficiens également distants des extrêmes, dans les équations $(\alpha ),$ y jouent exactement le même rôle, de manière à pouvoir y être permutés entre eux sans qu’il en résulte aucun changement ; ce qui revient à dire, en d’autres termes, que l’équation en $y$ doit être telle qu’on y puisse impunément remplacer simultanément les indices de $A$ et $B$ par leurs complémens à $m$.

Si, dans les équations $(\alpha )$ on suppose que $x$ représente un nombre purement abstrait, cela ne devra rien changer à la forme de l’équation finale, où cette lettre n’entre plus ; mais alors tous les coefficiens, sous peine d’absurdité, devront être homogènes ; de telle sorte que si, par exemple, $A_{0}$ représente une longueur et $B_{0}$ un intervalle de temps, tous les coefficiens de la première