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${\frac {c}{R}}+{\frac {ab}{R^{2}}}={\frac {\sqrt {\left(R^{2}-a^{2}\right)\left(R^{2}-b^{2}\right)}}{R^{2}}},$

d’où en quarrant, chassant les dénominateurs, réduisant, transposant et ordonnant,

$R^{3}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)R-2abc=0.$

Si présentement on représente par $x,y,z$ les trois côtés du triangle demandé, en remarquant que ces côtés sont divisés en deux parties égales par les droites données $a,b,c$, on aura

$x=2{\sqrt {R^{2}-a^{2}}},\quad y=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}},\quad z=2{\sqrt {R^{2}-c^{2}}}.$

Si $X,Y,Z$ sont les trois angles du triangle, en remarquant que ces angles sont les moitiés respectives des angles $2\alpha ,2\beta ,2\gamma ,$ on aura

$\operatorname {Cos} .X=\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {a}{R}},\ \ \operatorname {Cos} .Y=\operatorname {Cos} .\beta ={\frac {b}{R}},\ \ \operatorname {Cos} .Z=\operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {c}{R}}.$

Toutes ces valeurs étant des fonctions de $R,$ qui est donné par une équation du troisième degré, il s’ensuit que le problème est toujours possible quelles que soient les trois longueurs données $a,b,c\,;$ et, comme cette équation est sans second terme, on voit, sur-le-champ, que le problème aura une, deux ou trois solutions, suivant que la fonction

$27a^{2}b^{2}c^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{3},$

sera positive, nulle ou négative.

PROBLÈME iii. Étant données les longueurs des arcs de grands cercles qui joignent les trois sommets d’un triangle sphérique au pôle du cercle inscrit ; construire le triangle ?