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en changeant le signe de $\mu$ et observant que

$2^{-\mu |1}={\frac {1}{(2-\mu )^{\mu |1}}},$

on trouvera

$\int ^{\mu }P\operatorname {d} y^{\mu }={\frac {(-1)^{\mu }}{(2-\mu )^{\mu |1}}},\quad$(12)$\quad \int ^{\mu }Q\operatorname {d} y^{\mu }=(-1)^{\mu -y}e.\quad$(13)

Au moyen des formules (10) et (13), la formule (2) donnera la série suivante

$\int ^{\mu }{\frac {e^{-y}}{y^{2}}}\operatorname {d} y=$

$(-1)^{m}e^{-y}\left\{{\frac {1}{y^{2}}}-2{\frac {m}{y^{3}}}+3{\frac {m(m+1)}{y^{4}}}-4{\frac {m(m+1)(m+2)}{y^{5}}}+\ldots \right\},$

d’où, en faisant $m=1$

$\int {\frac {e^{-y}}{y^{2}}}\operatorname {d} y=-e^{-y}\left\{{\frac {1}{y^{2}}}-{\frac {1^{2|1}}{y^{3}}}+{\frac {1^{3|1}}{y^{4}}}-{\frac {1^{4|1}}{y^{5}}}+{\frac {1^{5|1}}{y^{6}}}-\ldots \right\},$

ou enfin, en remettant pour $y$ sa valeur \frac{1}{x},

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\sqrt[{x}]{e}}}={\frac {1}{\sqrt[{x}]{e}}}\left(x^{2}-1.2x^{3}+1.2.3x^{4}-1.2.3.4x^{5}+1.2.3.4.5x^{6}-\ldots \right)\,;\mathrm {(14)}$

cette dernière intégrale avait déjà été traitée par Euler, à la page 282 de son Calcul intégral.

Nous prendrons, pour second exemple, la différentielle

${\frac {\operatorname {d} t}{e^{t^{2}}}}\quad$ou$\quad e^{t^{2}}\operatorname {d} t,$

traitée par Laplace, dans ses réfractions astronomiques (Mécanique céleste, tom. iv, pag. 255).

Posons $t^{2}=x,$ il en résultera