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$a-2{\sqrt {ab}}+b<{\frac {1}{4}}\,;$

inégalité qui, en divisant par $2,$ peut être ensuite écrite comme il suit :

${\frac {a+b}{2}}-{\sqrt {ab}}<{\frac {1}{8}}\,;$

ce qui démontre le théorème annoncé.

Ce théorème s’applique évidemment à deux nombres décimaux dans lesquels le nombre des chiffres décimaux serait le même, et qui, abstraction faite de la virgule, tomberaient dans le cas des deux nombres entiers dont il vient d’être question ; l’excès de leur demi-somme sur la racine quarrée de leur produit serait moindre que le huitième d’une unité décimale du dernier ordre.

L’inégalité (3) prouve, en passant, que lorsqu’on a à extraire la racine quarrée d’un nombre, on peut modifier des chiffres sur la droite de ce nombre, sans altérer la racine d’une demi-unité du dernier ordre, pourvu que le nombre des chiffres modifiés soit moindre que la moitié du nombre total des chiffres du nombre dont il s’agit.

Il résulte encore de tout ceci que si l’on a à extraire la racine quarrée d’un nombre exprimé par l’unité, plus une fraction décimale, dans laquelle le premier chiffre décimal significatif est précédé d’autant de zéros au moins qu’il a de chiffres décimaux significatifs, on aura cette racine avec le même degré d’approximation qu’offre le nombre proposé, en remplaçant simplement la partie décimale par sa moitié. En effet, extraire, par exemple, la racine quarrée de $1{,}000512,$ c’est extraire la racine quarrée du produit $1{,}000512\times 1{,}000000,$ laquelle, par ce qui précède, sera, à moins d’un huitième de millionième près, la même chose que la moitié de $2{,}000512,$ c’est-à-dire, $1{,}000256.$

Donc, plus généralement, pour extraire la racine $(2^{n})$.^ième d’un