![{\displaystyle c\operatorname {Cos} .\alpha =b\operatorname {Cos} .x,\qquad c\operatorname {Cos} .\beta =a\operatorname {Cos} .x\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b62aba85e1b6f5ec7f27192ebdb2ab470198e56)
(7)
éliminant donc
et
de la précédente, à l’aide de celle-ci, il deviendra
![{\displaystyle 2ab\operatorname {Cos} .^{3}x-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}x+c^{2}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6fc1b73b3bc35737758687f76e4055f4abfb84)
(9)
ou bien encore
![{\displaystyle c^{2}\operatorname {S{\acute {e}}c} .^{3}x-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {S{\acute {e}}c} .x+2ab=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8510d1f7cdf0f829f31e556c790450c7c1a8edfb)
(10)
équation du troisième degré, sans second terme, que l’on résoudra par les fonctions circulaires. Lorsqu’on aura déterminé
, on en conclura
et
au moyen des équations (7). Il est d’ailleurs aisé de voir que le problème, toujours possible, admettra une, deux ou trois solutions, suivant que la fonction
![{\displaystyle 27a^{2}b^{2}c^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ace21cc550a33bb858a64dfe03b3ad5a581f7f0)
sera positive, nulle ou négative. On reconnaîtra ensuite, au moyen de la formule (4), si chacune de ces solutions appartient à un maximum ou à un minimum.
Si l’on désigne respectivement par
et
les angles du quadrilatère respectivement opposés à
et
on aura, en faisant usage des formules (2)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .\alpha '}{\operatorname {Sin} .\beta '}}={\frac {a+a'}{b+b'}}={\frac {a\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-c\operatorname {Sin} .\beta }{b\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-c\operatorname {Sin} .\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2959e3898b03a254c818b9f3d2c786c0611d5caf)
d’où, en mettant pour
et
leurs valeurs données par les formules (5)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .\alpha '}{\operatorname {Sin} .\beta '}}={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bc8958ed1d39396169f435e94a3213b8694ab2)