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$c\operatorname {Cos} .\alpha =b\operatorname {Cos} .x,\qquad c\operatorname {Cos} .\beta =a\operatorname {Cos} .x\,;\qquad$(7)

éliminant donc $\operatorname {Cos} .\alpha$ et $\operatorname {Cos} .\beta$ de la précédente, à l’aide de celle-ci, il deviendra

$2ab\operatorname {Cos} .^{3}x-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}x+c^{2}=0\,;\qquad$(9)

ou bien encore

$c^{2}\operatorname {S{\acute {e}}c} .^{3}x-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {S{\acute {e}}c} .x+2ab=0\,;\qquad$(10)

équation du troisième degré, sans second terme, que l’on résoudra par les fonctions circulaires. Lorsqu’on aura déterminé $x$, on en conclura $\alpha$ et $\beta ,$ au moyen des équations (7). Il est d’ailleurs aisé de voir que le problème, toujours possible, admettra une, deux ou trois solutions, suivant que la fonction

$27a^{2}b^{2}c^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3},$

sera positive, nulle ou négative. On reconnaîtra ensuite, au moyen de la formule (4), si chacune de ces solutions appartient à un maximum ou à un minimum.

Si l’on désigne respectivement par $\alpha '$ et $\beta '$ les angles du quadrilatère respectivement opposés à $\alpha$ et $\beta ,$ on aura, en faisant usage des formules (2)

${\frac {\operatorname {Sin} .\alpha '}{\operatorname {Sin} .\beta '}}={\frac {a+a'}{b+b'}}={\frac {a\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-c\operatorname {Sin} .\beta }{b\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-c\operatorname {Sin} .\alpha }}\,;$

d’où, en mettant pour $a$ et $b$ leurs valeurs données par les formules (5)

${\frac {\operatorname {Sin} .\alpha '}{\operatorname {Sin} .\beta '}}={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\beta }}\,;$