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déterminant les deux constantes $c,c'$ et l’attraction $\mu$ à la distance $1$ lorsque l’on connaît les deux demi-axes de l’ellipse et le temps $T$ d’une révolution.

vii. Nous allons examiner, en second lieu, l’hypothèse $n=-1.$ Ainsi la force centrale $R$ est proportionnelle à la distance et représentée par $\mu r$x. L’équation (3) devient donc

$\operatorname {d} \omega =-{\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {c'-{\frac {\mu }{z^{2}}}-c^{2}z^{2}}}},$

ou

$\operatorname {d} \omega =-{\frac {z\operatorname {d} z}{\sqrt {{\frac {c'z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\mu }{c^{2}}}-z^{4}}}}\,;$

ce qui peut, écrire ainsi

$\operatorname {d} \omega ={\frac {1}{2}}{\frac {-2z\operatorname {d} z}{\sqrt {{\frac {c'^{2}}{4c^{4}}}-{\frac {\mu }{c^{2}}}-\left({\frac {c'}{2c}}-z^{2}\right)^{2}}}}.$

En intégrant et nommant $c''$ la constante arbitraire, on trouve

$\omega ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\operatorname {Sin} .={\frac {{\frac {c'}{2c^{2}}}-z^{2}}{\sqrt {{\frac {c'^{2}}{4c^{4}}}-{\frac {\mu }{c^{2}}}}}}+c''\,;$

donc

${\frac {c'}{2c^{2}}}-z^{2}={\sqrt {{\frac {c'^{2}}{4c^{4}}}-{\frac {\mu }{c^{2}}}}}\operatorname {Sin} .2(\omega -c'').$

Si l’on remplaçait $z$ par ${\frac {1}{r}},$ on aurait l’équation de la courbe