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$\operatorname {d} \omega ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-\mu }}}.{\frac {{\sqrt {\frac {c^{2}-\mu }{c'}}}\operatorname {d} z}{\sqrt {1+{\frac {c^{2}-\mu }{c'}}z^{2}}}}\,;$

et l’on obtient, par l’intégration

$\omega ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-\mu }}}.\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\sqrt {\frac {c^{2}-\mu }{c'}}}z\right)\,;$

et, par conséquent,

$\omega ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-\mu }}}.\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\sqrt {\frac {c^{2}-\mu }{c'}}}{\frac {1}{r}}\right).$

En n’ajoutant pas de constante, les $\omega$ seront comptés de la droite pour laquelle on a $z=0$ et $r=\infty$. C’est la supposition que nous admettons ici. On tire ensuite de la valeur de $\omega$ celle de $r$, savoir :

$r={\frac {\sqrt {\frac {c^{2}-\mu }{c'}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {\sqrt {c^{2}-\mu }}{c}}\omega }}={\sqrt {\frac {c^{2}-\mu }{c'}}}\operatorname {Cos{\acute {e}}c} .{\frac {\sqrt {c^{2}-\mu }}{c}}\omega .$

Soient fait

${\frac {\sqrt {c^{2}-\mu }}{c}}=p,\qquad {\sqrt {\frac {c^{2}-\mu }{c'}}}=k\,;$

la $constante$ p sera toujours moindre que l’unité, pour des valeurs positives de $\mu$, et la valeur de $r$ deviendra

$r={\frac {k}{\operatorname {Sin} .p\omega }}=k\operatorname {Cos{\acute {e}}c} .p\omega .$

Il s’agit de construire cette équation.